ヨーロピアンプットオプションの計算方法

ヨーロピアンプットオプションは、金融市場において重要な役割を果たしています。このオプションの価格を計算する方法は、投資家にとって非常に重要です。この記事では、ヨーロピアンプットオプションの計算方法について、詳細かつ分かりやすく説明します。まずは、ヨーロピアンプットオプションの基本的な概念から始め、次に計算に必要な要素や計算式を紹介します。最後に、具体的な例を通じて計算のプロセスを実際に見ていきます。

ヨーロピアンプットオプションの基本概念

ヨーロピアンプットオプションは、ある特定の日に、あらかじめ定められた価格で基礎となる資産を売る権利を表します。このオプションは、指定された満期日にのみ行使可能であり、それ以前に行使することはできません。この点が、アメリカンオプションとの大きな違いです。

計算に必要な要素

ヨーロピアンプットオプションの価格を計算するには、以下の要素が必要です:

• 株価（S）: 現在の基礎資産の市場価格
• 行使価格（K）: オプションの行使価格
• 満期までの期間（T）: 残りの期間（通常は年単位で表される）
• リスクフリーレート（r）: 無リスク資産の利回り（通常は国債の利回りが使用される）
• ボラティリティ（σ）: 基礎資産の価格変動率

ブラック-ショールズモデル

ヨーロピアンプットオプションの価格を計算するための最も一般的な方法は、ブラック-ショールズモデルです。このモデルは、以下の数式で表されます:

$P=K{e}^{-rT}N(-d_2)-SN(-d_1)$P=Ke−rTN(−d2​)−SN(−d1​)

ここで、$d_1$d1​と$d_2$d2​は次のように計算されます:

$d_1=\frac{\ln \left(\frac{S}{K}\right)+(r+\frac{{\sigma }^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}}$d1​=σT​ln(KS​)+(r+2σ2​)T​

$d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$d2​=d1​−σT​

ここで、$N\left(x\right)$N(x)は標準正規分布の累積分布関数を表します。

具体例での計算

ここでは、具体的な数値を使用してヨーロピアンプットオプションの価格を計算してみましょう。

• 株価（S）: 50
• 行使価格（K）: 55
• 満期までの期間（T）: 1年
• リスクフリーレート（r）: 5%（0.05）
• ボラティリティ（σ）: 20%（0.2）

まず、$d_1$d1​を計算します:

$d_1=\frac{\ln \left(\frac{50}{55}\right)+(0.05+\frac{0.2^2}{2})1}{0.2\sqrt{1}}$d1​=0.21​ln(5550​)+(0.05+20.22​)1​

これを計算すると、$d_1=-0.1061$d1​=−0.1061となります。

次に、$d_2$d2​を計算します:

$d_2=-0.1061-0.2\times 1=-0.3061$d2​=−0.1061−0.2×1=−0.3061

最後に、ブラック-ショールズモデルの式に値を代入して、プットオプションの価格を求めます:

$P=55\times e^{-0.05}\times N(-0.3061)-50\times N(-0.1061)$P=55×e−0.05×N(−0.3061)−50×N(−0.1061)

これを計算すると、プットオプションの価格は約5.57ドルとなります。

まとめ

ヨーロピアンプットオプションの価格計算は、金融市場において非常に重要なスキルです。ブラック-ショールズモデルを使用することで、投資家は適切なオプション価格を計算し、適切な投資判断を下すことができます。この記事で紹介した手法を使って、自分で計算を試みることで、さらに深い理解を得ることができるでしょう。